Правильно: зал Чайковского, в зале Чайковского.
Корректно с прописной (большой): Конкурс им. Чайковского.
Пишется со строчной: в концертном зале "Россия".
Отчество образуется путем присоединения суффикса -ович к полной форме имени: Халимович (от Халим), Халимыгович (от Халимыг).
Кристина – западный вариант имени Христина, восходящего к греческому христианос "христианин".
Вот сведения из "Словаря личных имен", размещенного на нашем портале в "Проверке слова":
Елена – предположительно от греч. helenos — свет.
Правильно: города Чайковского. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».